Tapkite mūsų partneriais, padėkite išlaikyti visiems prieinamą, nemokamą ir kokybišką žiniasklaidą. Paremti
Paremkite ir tapkite mūsų partneriais.

2014 05 02

bernardinai.lt

Technologijos_lt

Vidutinis skaitymo laikas:

5 min.

Matematikos raida nuo akmens amžiaus iki vėlyvojo renesanso

Per šimtmečius mokslininkai padarė daug atradimų ir sukūrė skirtingų sprendimo metodų įvairiems uždaviniams: skaitiniams ir ne tik. Istorijos fragmentai iš skirtingų amžių turėjo įtakos matematikos vystymuisi. Pavyzdžiui, kai kurie faktai ar idėjos buvo tobulinami ir tikslinami, kol įgavo dabartinį pavidalą. Skaičius π, kvadratinė šaknis iš 2 buvo tikslinami daug kartų, kol paaiškėjo, kad baigtine trupmena jų užrašyti negalime.

Priešistorės studijos apie akmens amžiaus kultūrą mini nenuginčijamus ženklus, rodančius matematinių žinių egzistavimą. Architektūrinės struktūros, kapavietės, dekoracijos ant ginklų, įnagių, papuošalų ir, visų pirma, ant buities įrankių, audinių bei indų parodo jų kūrėjų geometrinės formos supratimą. Dar daugiau – tai parodo fundamentalių geometrijos taisyklių naudojimą. Prastai išsilaikę raižiniai dažnai mums yra vis dar neįmintos mįslės. Kartais suprantame, kad simboliai reiškia datas ar išradimus. Įvairias pasikartojančias sekas traktuojame kaip skaitmenis.

Mūsų tolimi protėviai buvo susipažinę su lygiagretainiu, lygiašoniu trikampiu, kvadratu, stačiakampiu, apskritimu ir net su į jį įbrėžtu taisyklingu šešiakampiu. Su sfera, cilindru, stačiakampiu gretasieniu, tetraedru ir oktaedru – kaip ir su kitomis figūromis – taip pat buvo susipažinta. Dekoratyviuose elementuose jaučiamas simetrijos supratimas. Čia ji išreikšta kaip begalinės figūros ar formos pačios savaime arba yra apribotos, ar sudaro tam tikrą erdvę, pavyzdžiui, apskritimą.

Šumerų dantiraštis.

Pirmosios dantiraščio lentelės su išraižytais matematinio turinio tekstais atsirado Tigro ir Eufrato baseine. Tai įvyko periode nuo 2 tūkstantmečio iki 2 šimtmečio pr. Kr. Šiose lentelėse užrašytos šumerų turėtos žinios. Šumerai apie 3500 m. pr. Kr. sukūrė savo rašto sistemą, kuria užkodavo gan savitą kalbą. Jų kalba daugiausiai buvo sudaryta iš vienskiemenės šaknies žodžių.

Kita tauta, kurią būtina paminėti, yra graikai. Pirmieji jų pasiekimai mums mažai žinomi, – kai kurie autoriai teigia, kad graikai nebuvo reikšmingai pažengę, lyginant su to laikmečio žiniomis.

Egipto įtakos didėjimas per Kretos ir Mikėnų civilizaciją bei Artimųjų Rytų įtaka per prie Egėjo jūros esančias gyvenvietes taip pat kelia daug neatsakytų klausimų.

Anaksagoras

Anaksagoras (500?-428? m. pr. Kr.) yra laikomas mokslinės matematikos pradininku. Jis tvirtino, kad nėra mažesnės už mažą kiekybės ir atitinkamai didesnės už didelę kiekybę. Apie 440 m. pr. Kr. viename savo traktatų Hipokratas parodė sisteminimo žinias rašydamas apie išvadų formulavimą.

Itin didelėmis žiniomis apie karingos ir ambicingos romėnų tautos (150 m. pr. Kr. – 150 m. po Kr.) matematinius pasiekimus taip pat negalime pasigirti. Per šį periodą kartu su astronomijos studijomis atsirado trigonometrija. Aristachas (270 m. pr. Kr.) jau žinojo, kad santykis tarp apskritimo stygos ir lanko didėja mažinant lanką, kai lankas trumpesnis už pusapskritimį, o sudėties teoremos kampų funkcijoms gali būti išvestos iš Archimedo aksiomų lygiai taip pat nesudėtingai, kaip ir iš Ptolemėjaus teoremos.

Kitas romėnų mokslininkas – Heronas (apie 100 m. po Kr.) – buvo gabus mechanikas ir technikas. Jo raštai ir paskaitos išleisti daug kartų. Heronas sujungė senovės Egipto pasiekimus su Archimedo darbais. Pastaruoju jis dažnai remdavosi. Jo raštuose, manoma, buvo Euklido citavimų.

Brahmi skaitmenys

Bene didžiausią įtaką turėjęs matematinis pasiekimas buvo indų sukurta dešimtainė skaičiavimo sistema (500–1200 m.), kuri, spėjama, buvo naudojama nuo VII amžiaus. Dešimtainė sistema pakeitė Kharoshthi skaitmenis kartu su menku ketvirtainės sistemos palikimu: 400 m. pr. Kr. – 300 m. po. Kr. raižiniais. Ši, mūsų dabar kasdieną naudojama sistema, taip pat pakeitė Brahmi skaitmenis, išlikusius maždaug 250 m. pr. Kr. raižiniuose. Brahmi skaitmenys turėjo atskirus simbolius, skirtus atvaizduoti vienetus, dešimtis ir šimtus.

7 laisvieji menai

Pačios pirmosios kinų (200 m. pr. Kr. – 1300 m. po Kr.) aritmetikos knygos buvo uždavinių rinkiniai, atitinkantys matematikos raidos laikotarpių problemas. Tyrėjai yra susipažinę su Chiu-ch’ang Suang-shu (apie 250 m. pr. Kr.) darbais, kurie patobulinti ir parašyti maždaug 2 kartomis vėliau. Čia aptariamas tiesinių lygčių sistemos sprendimas, sutinkami determinantą primenantys skaičiavimai. Taip pat rašoma apie kvadratines lygtis, stačiuosius trikampius bei pateikiamos geometrinės aproksimavimo formulės.

XIII amžiuje iškilo didelis idėjinis konfliktas. Neoplatonistų ir Augustino pasekėjai varžėsi su Aristotelio pasekėjais, kurie buvo vedami stipriausių musulmonų ir žydų mokinių: Avicenos (980–1037 m.), Avicebrono (1020/21–1069/79 m.), Averono (1126–1198 m.) ir Mozės Maimonido (1135–1204 m.). Domenico Gundisalvi palaikė ankstesnių studijų plėtrą bei svarbiausių Aristotelio mokyklos darbų įtraukimą į laisvųjų menų (artes liberales) programą jau 1150-aisiais. Viduramžiais 7 laisvieji menai, kuriems priskiriama: gramatika, retorika, dialektika, aritmetika, geometrija, muzika, astronomija – buvo labiau vertinami už praktiškuosius menus (artes mechanicae), kurių taip pat buvo 7.

Antroji XII amžiaus pusė pasižymėjo stipriomis katedrų ir vienuolynų mokyklomis, kurios įgavo vis daugiau svarbos ir nepriklausomybės. Galiausiai šios mokyklos tapo universitetais.

Antroje XII amžiaus pusėje dominikonai pasuko Aristotelio mokyklos keliu. Albertas Didysis (1208?–1280 m.) sukūrė puikų planą: padaryti visas turimas graikų, arabų ir žydų žinias pasiekiamas ir tai pateikti savo amžininkams kritiška forma. Albertas Didysis labiau pasikliovė Augustino, negu Aristotelio atsidavimu tikėjimui, tačiau gamtos mokslų atžvilgiu Aristotelis buvo jo aukščiausias autoritetas. Kaip ir Rodžeris Beikonas, Albertas Didysis pabrėžė mokslinio eksperimento svarbą ir viršenybę. Dangaus stebėjimai leido atmesti Aristotelio kosmologiją ir paremti Ptolemėjaus sistemą. Jis taip pat tapo įžymus kaip matematikas. Išleido pataisytą An-Nairizi komentarų apie Euklidą leidimą. Šiame leidime buvo ir naujos medžiagos – daugiausiai arabų mokyklos.

Renesanso matematika išsiskyrė dėmesiu praktinėms problemoms. Tai bene didžiausias toks dėmesys per visas epochas. Dėmesio centras istorikui jau nebėra išsilavinęs vienuolis ar universitetinis mokslas. Dabar ypatingai svarbus yra pripažintas meistras iš kurio nors vieno komercinio miesto Šiaurės Italijoje, Rytų Vokietijoje ar Prancūzijoje. Šis meistras dirba gildijoje su savo komanda. Jam trūksta formalaus išsilavinimo, lotynų kalbos žinių, jis buvo mokomas savo gimtąja kalba, rašė instrukcijas gimtąja kalba.

Venecijos ir Genujos pirkliai pirmieji skaičiavo indų ir arabų skaičiais, vykdė komerciją, kuri kitiems buvo sunkiai suvokiama, o tuo pačiu ir įtartina. Todėl iš pradžių vesti apskaitą šiais skaitmenimis buvo uždrausta valdininkų, kurie nebuvo su tokiais skaitmenimis susipažinę. Venecija oficialiai tai padarė 1299 m. Pirmieji žinomi „itališko“ apskaitos vedimo praktiniai nurodymai šiais skaitmenimis siekia XIV amžių, seniausieji buvo paruošti P. Dagomari (1281?–1365 arba 1374 m.). Seniausi spausdinti darbai yra anoniminė Treviso (1478) ir Florenco (1481) aritmetika. Geriausia apžvalga pateikta P. Borghi knygoje (1484). Luca Pacioli’s Summa (1494) ir Johann Widmann’s Rechenung (1489) taip pat apžvelgė šią tematiką. Na, o pirmosios monetos su įspaustais skaitmenimis bei spausdinti darbai numeruotais puslapiais, datuojami XV amžiumi.

Euklido Elementai

Klasikinė antika darė įtaką pirmiesiems nepriklausomiems vėlyvojo renesanso geometrijos traktatams. Čia verta paminėti Johannes Werner (1468–1528 m.) į stereometriją orientuotas studijas apie kūgio pjūvius, Giambattista Benedetti (1530–1590 m.) traktatą apie skriestuvo panaudojimo galimybes (1553). Žymi apskritimo vertimo to paties ploto kvadratu, naudojant tik skriestuvą ir liniuotę bei darant baigtinį skaičių žingsnių, problema. Nesėkmingi bandymai buvo daryti Oronce Fine (1494–1555) 1544-aisiais (1559-aisiais paneigė Jean Buteon (1492–1572)), Joseph Justus Scaliger (1540–1609) 1594-aisiais (paneigė Francois Vieta (1594)). 1882 metais galiausiai buvo įrodyta, kad to neįmanoma padaryti, nes skaičius π yra transcendentinis. Beveik visi vėlyvojo renesanso humanistai buvo labai atsidavę matematikos studijoms ir įsitikinę jos universalia reikšme.

Tai tik nedidelė dalis matematikos istorijos, kurios vaisius raškome šiandieną. Ne veltui buvo paminėtas matematikos universalumas. Šiuolaikinės mokslinės disciplinos tampriai susiję tarpusavyje, todėl nenuostabu, kad tarpdisciplininis ryšys yra svarbus variklis sprendžiant įvairias problemas.

Asist. Mantas Landauskas

Pagal: Joseph E. Hoffman – „The History Of Mathematics“, Philosophical Library, New York, 1957.