2021 12 16

Simonas Baliukonis

bernardinai.lt

Žiūrėjimo ir skaitymo laikas

80 min.

Pokalbiai apie švietimą. Ar įmanoma išmokyti abstraktaus mąstymo?

Raffaello Sanzio da Urbino, „Atėnų mokykla“ (XVI a. pradžia, freska). „Wikimedia Commons“ nuotrauka

Jei reikėtų įvardyti pagrindinį šiuolaikinio ugdymo tikslą, mąstymas būtų vienas iš pagrindinių pretendentų. Ne vienintelė, tačiau itin svarbi mąstymo forma yra abstraktus mąstymas – gebėjimas mąstyti apie objektus, į kuriuos negalima parodyti pirštu. Gebėjimas įžvelgti ir apmąstyti dalykus savaime, o ne pavienes jų išraiškas.

Pagrindinės sritys, kur pasireiškia abstraktus mąstymas, yra filosofija ir matematika, tad apie šį mąstymo būdą ir jo ugdymą nuo pat kūdikystės iki universiteto kalbamės su mokyklinės matematikos žinovu prof. RIMU NORVAIŠA bei filosofe ir vertėja dr. DAINA HABDANKAITE.

Kas yra mąstymas bendriausia prasme ir kodėl mes apskritai skiriame skirtingas mąstymo, sąmoningumo formas?

Daina Habdankaitė: Apie mąstymą prasminga kalbėti kontekste, kai galvojame apie savo pačių mąstymą ir kai lyginame su kitais. Žmogui mąstymo apibrėžimo klausimas kyla žvelgiant į kitas sąmoningumo formas. Žmogus save supranta kaip Homo sapiens ir ta sapiens dalis yra būtent ta, kuri išskiria mums iš kitų gyvūnų. Nors pastarieji tyrimai rodo, kad kitos gyvybės formos turi alternatyvias mąstymo formas ir tai verčia permąstyti mūsų vietą po saule kaip pačių racionaliausių būtybių.

Tad mąstymo gradacijos klausimas yra aktualus tiek lyginant žmogų su kitomis gyvybės formomis, tiek lyginant mūsų pačių mąstymo formas. Nuo pat antikos laikų kalbama apie abstraktų, praktinį ir kitokį mąstymą. Jei reikėtų apibrėžti mąstymą, kuris turi įvairių pavidalų, sakyčiau, kad mąstymas yra įsigyvenimo ir įsiveiklinimo tikrovėje būdas. Suprasdamas save tikrovėje veiki, planuoji, projektuoji.

Kuo tuomet išsiskiria abstraktus mąstymas?

D. Habdankaitė: Veikiausiai ne tik savo forma, bet ir objektu. Abstraktaus mąstymo nereikia renkantis ką valgyti per pietus – jis sprendžia kitokias problemas. Kita vertus, vaikas gana anksti pradeda abstrakčiai mąstyti. Kai imama suprasti, kas yra simbolis, perkeltinė reikšmė, suvokiama, kad vienas žodis gali žymėti skirtingus objektus, tai jau yra abstraktaus mąstymo užuomazgos.

O kuo išsiskiria matematinis mąstymas?

Rimas Norvaiša: Norėčiau pratęsti Dainos mintis apie mąstymą apskritai ir apie abstraktų mąstymą. Pastaraisiais metais, kai aktyviau domiuosi mokykline matematika, klausimas, kas yra mąstymas, tapo labai svarbus. Pritariu Dainai, kad mąstymas yra derinimasis prie aplinkos. Yra panašių požiūrių į mąstymą ir mokyklinės matematikos tyrimuose. Viena iš man patinkančių teorijų teigia, kad mąstymas yra įsisąmoninta komunikacija. Žmogus pažįsta aplinką tiek, kiek įsisąmonina aplinkinį diskursą. Kalbant konkrečiau, mąstymas yra sprendimų priėmimas, o matematinis mąstymas susijęs su sprendimų apie abstrakčias matematines sąvokas priėmimu.

Kuo išsiskiria filosofinis mąstymas?

D. Habdankaitė: Tiek, kiek mąstoma remiantis logikos taisyklėmis, bet koks abstraktus mąstymas tampa giminingas filosofiniam mąstymui. Tačiau filosofinis mąstymas nuo matematinio skiriasi savo turiniu. Filosofijos istorija parodo, kad filosofinis mąstymas, nors ir mėgsta tvarką, pasiduoda logikos taisyklėms, kartu mėgsta šias taisykles užklausti, stumti mintį iki ribos, mąstyti apie sunkiai apibrėžiamus, sunkiai įsivaizduojamus dalykus. Kita vertus, matematikams taip pat rūpi klausimai, kuriais jie gali su filosofais daug diskutuoti, pavyzdžiui, begalybės klausimas.

Ar filosofijos dėstymas mokykloje galėtų padėti ugdyti abstraktų mąstymą?

D. Habdankaitė: Kai galvoju apie filosofiją mokykloje, matau dvejopą naudą. Viena vertus, atliepiant Rimo pasiūlytą mąstymo apibrėžimą komunikacijos srityje. Tai, ko mokykloje lyg ir turėtume išmokti, bet nesame mokomi, yra diskusijos, bendravimo ir argumentavimo kultūra. To netiesiogiai mokaisi per skirtingas pamokas, bet aiškiai nesuvoki. Kas yra argumentas? Ką reiškia pagrįsti? Filosofija kaip tik ir galėtų būti ta disciplina, kur mokytumės argumentuoti, klausytis kito argumentų, atsakyti.

Galbūt abstraktaus mąstymo nereikia mokyti, bet reikia sudaryti sąlygas jam vystytis ir skleistis.

Kita vertus, reikalingas gebėjimas atsitraukti nuo minties turinio, kitaip tariant, gebėjimas diskutuoti jautriai nežvelgiant į diskusijos objektą, neginant vien tik intuityvios savo pozicijos. To iš dalies moko debatai, tačiau filosofija nėra tik varžovų įtikinėjimas – filosofija yra mąstymas kartu. Filosofinis mąstymas leidžia atitrūkti nuo mąstymo tik apie save ir per save bei pakelia į bendruomeniškesnį lygmenį. Tai naudinga ne tik kaip loginė mąstymo treniruotė, bet ir bendruomeniškumo pamoka.

Atrodo, kad teoriškai matematinis mąstymas turėtų ugdyti panašias kompetencijas, bet mokinių patirtis rodo, jog matematikos pamokos nepanašios į abstraktaus mąstymo pratybas.

R. Norvaiša: Jūs teisus. Situacija realybėje yra kitokia nei teorijoje. Matematikos mokoma 6 tūkstančius metų – jau babiloniečiai, šumerai turėjo savo mokymo įpročių. Per tiek laiko susikaupė įvairiausios matematikos mokymo patirties. Šiandien kaip modernios mokymo formos atgimsta tai, kas buvo pamiršta.

Mūsų aplinkoje dabar yra tokia stadija, kai atrodo, kad matematikoje svarbiausia yra žinios ir gebėjimai. Matematinis samprotavimas nustumiamas į šoną. Tačiau, kai sakau, kad nustumiamas į šoną, tai nereiškia, kad taip buvo prieš dvidešimt metų ar prieš Nepriklausomybę. Sovietiniais laikais nebuvo rūpinamasi, kad visi arba dauguma vaikų įgytų padorų matematinį išsilavinimą. Buvo požiūris, kad yra gabių vaikų ir jiems reikia suteikti matematinį išsilavinimą. Tai – bloga patirtis, nes daugelis tų, kurie buvo apleisti, kurie nebuvo priskirti prie gabiųjų, įsivaizduoja, jog matematika yra kažkas siaubingo.

Prof. Rimas Norvaiša. Kosto Kajėno / Bernardinai.lt videomedžiagos kadras

Tarkime, mitas, kad matematinis įrodymas yra formalus, tik keletui prieinamas dalykas. Matematinis, tradicinis įrodymas yra panašus į argumentavimą, tai, ką minėjo Daina. Bet ši įrodymo stadija yra paskutinė. Bendresnis paveikslas prasideda nuo bandymo atrasti dėsningumą abstrakčiuose objektuose. Tarkime, tarp skaičių. Nagrinėjame skaičių aibes ir siūlome aptikti dėsningumą; po to reikia bandyti formuluoti hipotezes, jas pagrįsti ir tik ketvirtoje stadijoje aptinkame tradicinį matematinį samprotavimą, kai iš prielaidų gauname išvadas, naudodamiesi loginėmis išvedimo taisyklėmis.

Mūsų programoje parašyta, kad matematinis samprotavimas yra dedukcinis samprotavimas. Tačiau problema ta, kad dedukcinis samprotavimas yra kalno viršūnė, ir jei mes vaikui nepaaiškiname, kaip pereiti tuos keturis etapus, reikalauti dedukcinio samprotavimo yra beprasmiška. Todėl mes ir susiduriame su situacija, kai tenka mokyti žinių ir gebėjimų, o kopimas į kalną lieka nepopuliarus.

Skirtingai nuo sovietinės sistemos, mes turėtume stengtis pakelti daugumos vaikų lygį. Nes nuo to priklauso, kaip mes reaguosime į pandemijas, karus ir politiką.

Kaip filosofija galėtų padėti treniruoti abstraktų mąstymą, ypač jauname amžiuje?

D. Habdankaitė: Teko vartyti filosofinę knygelę apie gyvūnus 3–4 metų vaikams. Joje užduodami tokie klausimai: kodėl žirafos kaklas ilgas? Kodėl žirafa yra žirafa? Paklausti, kodėl dalykas vadinamas vienu, o ne kitu vardu ir kas būtų, jei žirafą vadintume keptuve, jau yra išmušimas iš kasdienio mąstymo. Tai yra pirmas žingsnis atsitraukiant nuo suasmeninto santykio su tikrove. Taip parodoma, kad į pasaulį galima žiūrėti iš įvairių perspektyvų, galima klausti apie tai, kas iki tol atrodė savaime suprantama. Pirmas žingsnis yra atsisakyti buitinio mąstymo ir parodyti, kad į aplinką galima žiūrėti kūrybingai.

Kaip prie abstraktaus mąstymo keliaujama matematikoje?

R. Norvaiša: Paprasčiausia abstrakcija, kurią bandome paaiškinti vaikams, yra skaičius. Problema yra supažindinti su šiuo objektu. Mes galime pasakyti, kas yra penki obuoliai ar penkios kriaušės. Vaikas supranta konkrečius skaičius. Tačiau perėjimas nuo konkrečių prie abstrakčių skaičių yra labai sudėtingas.

Čia labai svarbūs mokymo metodai. Jei mąstymą suprantame kaip komunikaciją, turėtume kreipti dėmesį, kaip vaikai kalbasi tarpusavyje, kad geriau suprastume, ką jie mąsto. Mokyti reikėtų rengiant diskusiją, kurioje dalyvautų vaikai ir mokytojas, forma. Čia labai svarbus mokytojo vaidmuo, kad jis duotų prasmingas užduotis ir sugebėtų pastebėti, ką atskiros vaikų grupės kalba, ir prasmingai įsiterpti.

Matematikos mokymasis yra ne veiksmai savaime, o gebėjimas paaiškinti, kodėl matematikos veiksmai yra atliekami taip, kaip jie yra atliekami.

Grįžtant prie skaičiaus sąvokos, reikia konstatuoti, kad pirmos klasės vadovėliuose nematome suvokimo, jog perėjimas nuo konkretaus prie abstraktaus skaičiaus, yra problema. Vaikai įsisavina skaičiaus savybes tiesiog mintinai išmokdami taisykles. Matyt, be išmokimo nėra kitokio būdo. Turime sutelkti bazines žinias, kad po to galėtume jas prasmingai pildyti. Nėra vieno metodo, vienareikšmių receptų, kaip pereiti prie abstrakcijos. Tačiau problema ta, kad nesuvokiama pati problema. Norėtųsi, kad mokytojai domėtųsi tyrimais, eksperimentuotų klasėje, ieškotų kelių, nes mokytojas geriausiai gali pažinti vaiką ir suprasti jo galimybes.

Ar abstraktaus mąstymo išvis įmanoma išmokyti? Galbūt įmanoma tik jo link kreipti ir tikėtis, kad galiausiai vaikas jį įgis?

D. Habdankaitė: Galbūt abstraktaus mąstymo nereikia mokyti, bet reikia sudaryti sąlygas jam vystytis ir skleistis. Vargiai įsivaizduoju funkcionuojantį suaugusįjį, kuris neturėtų jokios abstraktaus mąstymo gebos. Skiriasi tik abstraktaus mąstymo lygmuo ir patirtys. Net jei žmogus nėra susidūręs su matematiniu ar filosofiniu mąstymu, galbūt jis vartoja tokias kategorijas kaip tauta, valstybė. Tai irgi abstraktūs dalykai.

Dr. Daina Habdankaitė. Kosto Kajėno / Bernardinai.lt videomedžiagos kadras

Tačiau klausimas, kokio abstraktaus mąstymo gebos lygmens tikimės iš didžiosios visuomenės dalies. Užuot galvoję vien tik apie gabiausiuosius, kuriems tokie klausimai kaip „kas yra skaičius?“ yra išties įdomūs, turėtume galvoti apie daugumą. Bet tai yra titaniškas darbas, reikia programos, kurią sunku sukurti ne tik dėl apimties, bet ir dėl klausimų nevienareikšmiškumo. Kaip Rimas minėjo, nėra tiksliai žinoma, kaip geriausia pereiti nuo penkių obuolių prie penkių. Galbūt tuomet reiktų kreipti dėmesį ne į tai, kaip mokyti, o kaip sudaryti sąlygas. Abstraktus mąstymas yra kaip raumuo, ir kuo daugiau įvairių pratimų daroma, tuo labiau tas raumuo stiprėja.

Pirmas žingsnis į abstraktų mąstymą yra perėjimas nuo konkretybės prie abstraktybės, o antras žingsnis yra neįpulti į manipuliavimo ženklais spąstus. Ir tai galioja tiek apskritai komunikacijoje, tiek filosofijoje, tiek matematikoje. Galima vartoti sąvokas pilietis, valstybė, tauta, tiesiog atkartojant tai, ką sako kiti, bet nesvarstant apie pačias sąvokas. Lygiai taip pat matematikoje mokinė (-ys) gali išmokti formulę ir ją taikyti, tačiau nepakilti iki abstraktaus lygmens.

R. Norvaiša: Pabandysiu matematikos kontekste paaiškinti, kur slypi pavojai. Mes turėtume siekti suteikti prasmę. Pavyzdžiui, kad žmogus ne tik sugebėtų sudėti stulpeliu du skaičius, bet ir suprastų, kodėl sudedant tuos du skaičius rezultatas visada būna teisingas. Suvokimas ateina gilinantis į matematinio objekto esmę. Čia labai svarbus apibrėžimas. Matematikoje apibrėžimas yra ne visai tas pat, kas apibrėžimas kasdieniame gyvenime.

Pagal žodžio „pilis“ apibūdinimą žodyne, Vilniuje rastume daugybę pastatų, kurių negalėtume vienareikšmiškai priskirti šiai kategorijai. Matematikoje taip negali būti. Apie matematinius objektus turime kalbėti vienareikšmiškai, ir tam yra svarbi apibrėžimo struktūra. Apibrėžiama turi būti pagal vienareikšmes savybes. Bandymas išsiaiškinti matematinių objektų apibrėžimus ugdo supratimą, kas yra teisinga ir neteisinga, prasminga ir neprasminga. Matematikos mokymasis yra ne veiksmai savaime, o gebėjimas paaiškinti, kodėl matematikos veiksmai yra atliekami taip, kaip jie yra atliekami.

D. Habdankaitė: Beklausydama Rimo pagalvojau, kad būtų labai gerai supažindinti jaunus žmones su tuo, kad matematikoje apibrėžimas yra būtinai vienareikšmiškas, o bendruomeniniame gyvenime, kasdienėje kalboje tokių vienareikšmių apibrėžimų nėra. Žinoma, jei susėstume diskutuoti, ką reiškia būti geru piliečiu, pirmiausia reikėtų bandyti apsibrėžti, kaip suprantame pilietį, kas mums yra valstybė, ir matematinis apibrėžimas mums galėtų būti kaip etalonas. Bet supratimas, kad gyvenimiškoje tikrovėje objektai nėra matematiniai, yra labai svarbus. Čia abstraktus mąstymas yra reikalingas labiau kaip kritinis žvilgsnis, gebėjimas pamatyti bendrybes ir skirtybes, gebėjimas suprasti, kad prie tiesos iš didžiosios T yra sunku prieiti.

Ar po mokyklos jauni žmonės ateina į universitetą pasiruošę mąstyti abstrakčiai?

D. Habdankaitė: Dėstydama aš nesitikiu, kad neseniai mokyklą baigę žmonės galės pasakyti, kuo skiriasi Kantas nuo Hegelio, bet aš turiu lūkestį, jog jie gebės skaityti tekstą, kuris yra ne apie kriaušes, o apie sąvokas ir idėjas. Tikiuosi, kad jie gebės tokį tekstą suprasti, išskirti jo esmę, ją persakyti savais žodžiais. Tačiau toks įgūdis daugumai mano sutiktų studentų nėra labai išlavintas. Kita vertus, tai ir nestebina. Kur jauni žmonės galėjo skaityti abstrakčius tekstus? Mokykloje tokios disciplinos nėra.

O kokie tekstai padėtų ugdyti abstraktų mąstymą ir būtų tinkami mokyklai?

D. Habdankaitė: Turbūt reikėtų pradėti nuo Platono dialogų. Tai geri tekstai, nes kalbėjimo, diskutavimo kontekste galima pamatyti, kaip keliami klausiamai, kaip ieškoma sąvokos esmės. Pažįstu ne vieną jaunuolį ir jaunuolę, kurie nuo Platono ir pradeda domėjimąsi filosofiniais tekstais. Bet jei mes norėtume tai padaryti programos dalimi, tam reikia atskiros disciplinos ir mokytojo pagalbos.

Kokia patirtis universitetiniame matematikos lauke? Priešingai nuo filosofijos, visi, atėję iš mokyklos, būna praleidę su matematika dvylika metų, laiko egzaminus. Kaip sekasi su abstrakčiu mąstymu universitete?

R. Norvaiša: Blogai. Blogiausia ne tai, kad jie neatsineša tam tikrų žinių. Problema ta, kad jie nėra įgiję logikos pagrindų. Priešingai – jie yra įgiję klaidingas logines intuicijas. Ir to nebepavyksta pakeisti, nes loginio mąstymo elementai užsifiksuoja jau pradiniame ugdyme. Kai mes manome, kad pradiniame ugdyme svarbiausia vaikui vaizdingai kažką paaiškinti ir jokiu būdu nepradėti kalbėti apie logiką, mes darome klaidą.

Diskusija apie abstraktų mąstymą. Iš kairės: Bernardinai.lt visuomenės temų redaktorius Simonas Baliukonis, matematikas prof. Rimas Norvaiša, filosofė dr. Daina Habdankaitė. Kosto Kajėno / Bernardinai.lt videomedžiagos kadras

Mes kalbame apie tai, kad ir kaip reikia ugdyti abstraktų mąstymą, tačiau ar patys mokytojai yra pajėgūs siekti, kad mokinys suprastų uždavinį, o ne gautų teisingą atsakymą?

R. Norvaiša: Taip, mokytojų parengimas yra skaudus dalykas. Taip pat ir programa, prie kurios dabar dirbame. Tai daroma keistu būdu – žmonės surenkami pagal principą: „kas norit, tas eikit“. Ir tą programą rengti dažniausiai imasi atsitiktinai susirinkę tie patys žmonės. Manoma, pakaks šiek tiek patobulinti tai, kas buvo anksčiau. Mokymo turinys yra per daug rimtas dalykas, kad programos būtų taip rengiamos.

Mokymo turiniu turi užsiimti specialios institucijos, kuriose dirbtų mokslininkai ir kurios būtų nepriklausomos nuo politinių programų. Jau kelis dešimtmečius mūsų turinys sudaromas galvojant, kad „pasimokykime to, ko reikia užimti gerą vietą tarptautiniuose tyrimuose“. Tokiu būdu palaipsniui mokymosi turinį suprimityvinome. Dabar, norint ką nors pakeisti, reikia kelti mokytojų kvalifikaciją. Tiek mokytojų rengimas, tiek programos kūrimas yra išsibalansavę.

Koks yra abstraktaus mąstymo santykis su metaforomis?

R. Norvaiša: Tai priklauso nuo to, ką mes laikome mąstymu. Aš užsiminiau apie komunikaciją. Metafora yra vienintelis būdas, kaip sukurti naują sąvoką. Naujų žinių kūrimas, kai negalima parodyti pirštu, įmanomas tik perkeliant sąvoką iš vienos srities į kitą ir suteikiant jai naują turinį. Tik gaila, kad mes naujų žinių kūrimo darbą atliekame ne iki galo. Mes pateikiame mokiniui naujų sąvokų metaforos forma, bet nepaaiškiname, kokios turėtų būti naujos elgimosi su sąvokomis taisyklės.

Platono „Menone“ aptinkame tokį naujų žinių paradoksą: kaip galime siekti naujų žinių, jei dar nežinome, kas jos yra? Kodėl siekiame naujų žinių? Čia metaforos vaidmuo labai svarbus.

D. Habdankaitė: Džiaugiuosi tai girdėdama iš matematiko lūpų. Nes aš norėjau sakyti lygiai tą patį – mąstymas savo esme yra metaforinė veikla. Kasdienėje aplinkoje, o šiek tiek ir akademinėje, metafora vertinama su lengva paniekos gaidele. Neva metaforinis mąstymas yra netikslus. O kur tu rasi tikslų, su tikrove visiškai sutampantį sąvokų tarsi etikečių klijavimą? Jo tiesiog nėra. Mąstant reikšmių perkėlimas vyksta nuolat.

Tačiau pavojus yra pateikti metaforą nepabrėžiant, kad tai yra metafora, dedant tarp abstraktaus objekto ir jį nusakančios metaforos lygybės ženklą.

R. Norvaiša: Čia yra daug problemų. Tarkime, matematikoje yra sąvoka „kintamasis dydis“. Ši sąvoka per šimtmečius pakeitė savo turinį. Niutono laikais „kintamasis dydis“ buvo siejamas su kasdiene prasme – kažkas kinta. Kadangi Niutonas tyrė judėjimą, ši sąvoka buvo labai paranki. Dabar mes tam pačiam kismui nusakyti matematikoje vartojame kitą sąvoką – „funkcija“. Tačiau frazė „kintamasis dydis“ taip ir liko mokykliniame kontekste. Manau, kad absoliuti dauguma vaikų neišgirsta, kokia yra tikroji šiandien vartojamos sąvokos „kintamasis dydis“ reikšmė. Ji yra „bet kuris kokios nors aibės elementas“. Tad metaforos klausimas klasėje yra labai svarbus, gaila, kad rengiant mokytojus tai nėra pabrėžiama.

Profesoriau, Jūs esate taikliai atkreipęs dėmesį į skirtį tarp graikų ir babiloniečių matematikos. Babiloniečiai naudojo daug tų pačių matematinių įrankių kaip ir graikai, bet siekdami įgyvendinti praktinius tikslus, o ne apmąstyti pačius matematinius objektus. Atrodo, tiek filosofija, tiek matematika susiduria su panašia problema – įpareigojimu pasiaiškinti, kaip ji yra naudinga konkrečiam vaikui konkrečioje gyvenimo situacijoje, tarsi mąstymas nebūtų gyvenimo dalis. Kitaip tariant, esame skatinami ugdymą pagrįsti babilonietiškai, o ne graikiškai.

D. Habdankaitė: Taip, šis iššūkis iškyla. Kita vertus, galbūt tokio skepsio jau mažėja. Žvelgiant, kaip formaliai atrodo bendrojo ugdymo programos, atrodo, kad toks dalykas kaip kritinis mąstymas jau įvardijamas kaip siekiamybė. Bet kažkiek poreikio „pasiteisinti“, matyt, bus visada, nes mes kaip visuomenė visame pasaulyje esame orientuoti į aiškų funkcinį pasiskirstymą. Taip visuomenė veikia – visi turi nuolat grįsti savo vietą po saule. Tuo sunkiau tokiems mokslams, kurie nekuria apčiuopiamo produkto, o ugdo. Bet aš žvelgiu pozityviai. Galbūt tai tik mano aplinka, bet atrodo, jog supratimas apie ugdymo ir ugdymosi svarbą jau yra plačiajame diskurse, kasdienėje kalboje, tad, tikiuosi, ir mąstyme.

Įdomu? Prenumeruokite naujienlaiškį ir skaitykite mus kasdien

O kaip matematikoje?

R. Norvaiša: Norėčiau atkreipti dėmesį, kad senovės Graikijoje lyg ir nebuvo problemų, su kuriomis šiandien susiduriame. Nes ten matematika buvo įrodomoji matematika – ta, kurią mes žinome ir kuri siekia pagrįsti. Tokia matematika užsiėmė labai maža visuomenės dalis – mąstytojai, filosofai. Buvo ir ta kita matematika, vadinamoji logistika, t. y. taikomoji matematikos dalis. Ja užsiėmė amatininkai, teisininkai, pirkliai. To jie ir buvo mokomi.

Dabar, kai manome, kad matematika turi būti ir tokia, ir tokia, galiausiai išeina nei viena, nei kita. Iškeliame tikslą, kad matematiką būtų galima taikyti realiame gyvenime, tačiau su taikomąja matematika nesupažindiname, ir vaikui neaišku, ką reiškia taikyti. Išeina, kad vaikas mokomas abstrakčios matematikos, bet ne abstrakcijomis, o su konkrečiais skaičiais. Jis operuoja akcijomis, obuoliais, prekėmis ir manoma, kad tokiu būdu taikoma matematika. Tai supaprastintas vaizdas, tačiau esmė ta, kad mokinys neįgyja nei abstrakčios matematikos, nes jai trukdo paviršutinis praktinės matematinės siekis, nei taikomosios matematikos, nes iš tiesų jos nėra mokoma.

Taigi mes turėtume apsispręsti, ko siekiame mokydami matematikos. Jei mes nelaikome problema to, kad mūsų požiūris, ko mokyti, skiriasi nuo mūsų interesų, mes tos problemos ir nesprendžiame. Išeina, kad matematikos mokoma taip, kaip pavyksta. Tačiau atsakymas į klausimą, kokios matematikos reikia mokyti, priklauso nuo skirtingų visuomenės grupių interesų. Po mokytojų ruošimo antra svarbiausia problema – suderinti šiuos interesus.