Kam mokytis tos matematikos?

Tiesa, kur kas įdomesnis klausimas šiame kontekste yra susijęs ne su egzaminų rezultatais ar užduotimis, o veikiau su mūsų supratimu apie tai, kam matematika apskritai reikalinga ir kodėl jos mokytis reikėtų. Tiesa, „reikalingumo“ sąvoka nėra pati geriausia ir tiksliausia kalbant apie matematiką ar kitą abstraktų mokslą. Juk ji nurodo kokią nors „naudą“ ar „greitai apčiuopiamą rezultatą“, o štai abstraktus mąstymas reikalauja pastangų ir kartais nėra aiškiai išverčiamas į kaštų ir naudos terminus.

Galima būtų pagal šiuos klausimus iškelti kiek kitokią problemą: kokia yra matematikos prasmė? Nuo to, kaip žmogus (ir sistema) apsibrėžia atsakymus į šį pamatinį klausimą, priklauso ir tai, kaip žiūrima į matematiką kaip discipliną, kaip jos mokomasi mokykloje, o galiausiai – kokių žinių mokiniai „išsineša“ baigdami pagrindinę švietimo instituciją Lietuvoje. Ar jie nori tik skaičiuoti, o gal ir mąstyti?

Kas vyksta galvoje, kai mokomės matematikos?

Norint geriau suprasti matematikos mokymosi prasmę, derėtų pažvelgti į tai, kas vyksta mokinių smegenyse tada, kai jie imasi suvokti matematines sąvokas ir spręsti uždavinius. Psichologai Alanas Baddeley’us ir Grahamas Hitchas 1974 m. pristatė pirmąjį savo atminties struktūros modelį, o vėliau jį papildė ir mokymosi proceso įtaka atminties mechanizmams, t. y. kaip žmogaus smegenys „priima“ iš išorės ateinančią informaciją, ją perorganizuoja ir galiausiai kaip naudoja vėliau. Anot mokslininkų, egzistuoja trijų tipų atmintis: sensorinė, darbinė ir ilgalaikė.

Darbine atmintimi galima būtų laikyti tiesiog žmogaus sąmonę. Egzistuoja daugybė charakteristikų, apibūdinančių šią atmintį, bet jas visas vienija keli aspektai: šios atminties pajėgumas, t. y. vienu metu ji gali turėti tik labai ribotą kiekį informacijos ir koks yra darbinės atminties „ilgalaikiškumas“. Kitaip tariant, darbingoji atmintis negali vienu metu aprėpti daug objektų, ir tie objektai gana greitai iš jos pasišalina.

Kalbant apie matematikos mokymosi procesą, galima pasitelkti paprastą pavyzdį: mokinys, pradėdamas mokytis matematikos, vargu ar galės „mintinai“ apskaičiuoti, kiek yra 87 x 28. Šiam procesui atlikti reikalingi keli veiksmai: paskirų skaičių sudauginimas ir dar sudėjimas. Būtent šioje vietoje darbinė atmintis pasiekia savo ribas, todėl žmogus turi pasitelkti ilgalaikę atmintį.

Ilgalaikė atmintis dažniausiai charakterizuojama kaip neribota, t. y. joje galima kaupti milžiniškus kiekius įvairios informacijos. Matematinės žinios ir įvairios problemų sprendimo strategijos taip pat kaupiamos ilgalaikėje atmintyje. Tiesa, kiek problemiškas yra informacijos ilgalaikėje atmintyje „atkūrimas“ ir vėlesnis panaudojimas sprendžiant įvairias problemas.

Mokslininkai įvairius problemų sprendimo būdus, nugulusius ilgalaikėje atmintyje, dažniausiai vadina „schemomis“. Vienas iš „schemų“ pavyzdžių: daug pastangų nereikalaujantis skaitymo procesas. Jam dažniausiai, jei tekstas nėra pernelyg sudėtingas, nereikia didelio darbingosios atminties pajėgumo, todėl galima mąstyti apie tai, ką skaitai, o ne tik nuolat „stengtis skaityti“.

Schemos įsimenamos ir galiausiai „patenka“ į ilgalaikę atmintį ne iš karto, o per kurį laiką, po truputį „auginant“ informaciją vaikų galvose. Pavyzdžiui, pradedant suvokti santykius tarp vienos dalyko dalių, visuomet galima vaikams demonstruoti jusliškai, ką reiškia „pusė“, „dalis“ ar „visas“, t. y. naudojant virvelę ar kokią kitą priemonę. Tokio užsiėmimo metu vaikai turėtų atrasti prasmingus ryšius tarp šių trijų koncepcijų. Vėlesnėje pamokoje vaikams pradedant kalbėti apie trupmenos idėją, dalis ir visumą, į vaikų darbinę atmintį „trupmenos“ idėja patenka trumpam laikui, kartais vos kelioms sekundėms. Per šį laiką vaikai turėtų naujai į darbinę atmintį patenkančias idėjas sujungti su prieš tai suvoktomis. Taip po truputį, dėliojant vis sudėtingėjančias idėjas, formuojamos ir mąstymo schemos, kurios vėliau leidžia spręsti matematines užduotis. Svarbiausia – schemų atsiradimas mažina darbinės atminties „apkrovą“. Tačiau ypač svarbu suprasti, jog tai yra laipsniškas procesas, kurį nuolat turi prižiūrėti mokytojas.

Matematikos mokymosi procesas gali būti suvoktas kaip nuolatinis minčių ir idėjų abstraktėjimas. Kaip ir minėtame pavyzdyje su trupmenomis, vaikai pradeda nuo konkretaus sąlyčio su tikrove, tačiau galiausiai keliauja toliau, atsitraukdami nuo tikrovės ir pradėdami mąstyti sudėtingesnėmis kategorijomis ir sąvokomis.

Matematikos kaip disciplinos kaita Lietuvoje

Nuo pat Nepriklausomybės pradžios matematikos mokymo(si) procesas Lietuvoje smarkiai keitėsi. Kaip ir daugelyje gyvenimo sričių, taip ir mokykloje visi sovietiniai metodai ar praktikos buvo paskelbtos nebetinkamomis ir pradėta Vakaruose ieškoti pažangesnių būdų gyventi ir būti. Labai panašiai atsitiko ir su matematika.

Prof. Rimas Norvaiša moksliniame straipsnyje „Kodėl mokome matematikos taip, kaip mokome? Lietuviškos mokyklinės matematikos atvejis“ analizuoja pastarųjų 40 metų populiariausius matematikos vadovėlius ir bando suprasti, kaip keitėsi matematikos mokymo(si) proceso paradigma. Straipsnyje analizuojami 1982 m., 1999 m. ir 2013 m. labiausiai mokyklose naudojami matematikos vadovėliai. Anot mokslininko, vadovėlių analizė rodo, jog palaipsniui Lietuvoje mažėjo sutelktis į matematinį mąstymą, t. y. įvairiausių matematinių koncepcijų prasmės suvokimą, gebėjimą įrodyti, apibrėžimų įsisavinimą. 1982 m. vadovėlyje akcentuojami matematiniai įrodymai, matematinių idėjų supratimas, sąvokų prasmė, o tai jau – filosofinės kategorijos. Šiuos svarbius matematinio mąstymo dalykus keitė paprastas skaičiavimas. Kitaip tariant, į matematikos mokslą buvo pradėta žiūrėti ne kaip į abstraktų mąstymą, o veikiau kaip į, šiek tiek perspaudžiant, finansų tvarkymo ir obuolių skaičiavimo įrankį.

Pavyzdžiui, 2013 m. vadovėlyje mažai dėmesio skiriama tam, kad vaikai iš tiesų suprastų, ką jie daro, kokia jų veiksmų atlikimo prasmė, apie ką jie mąsto, kokius veiksmus atlieka, o veikiau mechaniškam pačių veiksmų atlikimui, nuolatinei veiksmo kartotei. Pati veiksmo kartotė yra reikalinga, nes taip įsisavinama „procedūra“, t. y. išmokstama skaičiuoti, o tai padeda vėliau spręsti įvairiausias sudėtingesnes užduotis. Juk nebereikia nuolat galvoti apie paprasčiausią veiksmą, galima imtis sudėtingesnio, jis savotiškai „automatizuojamas“. Tačiau pagrindinė problema susijusi su tuo, jog susitelkiama tik į skaičiavimą, yra ta, kad mokoma mechanikos, o ne mąstymo veiksmo ir matematinės logikos, savo veiksmo suvokimo. Galiausiai matematika pavirsta tiesiog administravimo ir skaičiavimo priemone, o ne būdu mąstyti.

Pokyčiai tiek matematikos, tiek kitų dalykų mokymosi tradicijoje susiję su nauja, „progresyvia“ mokymosi paradigma, kuri akcentuoja ne mokslines, o veikiau paties vaiko „susikonstruotas“ žinias, taip pat mokytoją paverčia veikiau prižiūrinčiuoju mokymosi procesą, o ne iš tiesų padedančiu vaikui įsisavinti sudėtingas matematines koncepcijas.

Be mokytojo aktyvaus dalyvavimo mokymosi procese mokiniai tampa nebepajėgūs sudėtingas koncepcijas įsisavinti, todėl jiems telieka mechaniškai atkartoti paprastus veiksmus. Atrodo, paradoksalu, kad matematikos mokymas mokykloje vis paprastėja, iš savo moksleivių prašome ir tikimės vis mažiau, lyg jie būtų nebe tokie pajėgūs mąstyti (kokie buvo sovietmečiu!), o tik atlikti jiems paskirtą užduotį. Šitokia situacija kalba ir apie savotišką ambicijos stoką visoje visuomenėje: rengdami vis paprastesnius vadovėlius savo vaikus tiesiog nuvertiname. Tikėdamiesi, kad vaikams pakanka „mechanikos“, tiesiog atimame iš jų galimybę abstrakčiai mąstyti.

Matematika, anot R. Norvaišos, nėra reikalinga tik tam, kad atliktume įvairius matematinius veiksmus, t. y. suskaičiuotume tikrovėje esančius obuolius ar juos padalintume. Matematika visų pirma lavina abstraktųjį mąstymą ir logikos pagrindus. Jeigu matematiką (ir, tiesą sakant, bet kokį mokslą) suvoksime tik kaip mechaninių veiksmų atlikimo būdą, tuomet ir vaikus ugdysime tam, kad jie mechaniškai mąstytų ir tiesiog atliktų paprastus veiksmus. Matematikos mokymo(si) prasmė – jos gebėjimas versti mąstyti, o ne tik atkartoti vienus ar kitus mąstymo judesius.