Matematikas R. Norvaiša: „Abstraktaus mąstymo galima pradėti mokyti jau pirmoje klasėje“ 

Pirmą kartą tekstas publikuotas 2021 m. vasario 4 d.

Kalbėdami apie mokymąsi mokykloje dažniau akcentuojame sisteminius dalykus (mokyklų tinklo pertvarką, investicijas), tačiau pamirštame apie konkretų santykį, kuriame ir gimsta supratimas ir pažinimas, t. y. santykį tarp mokytojo ir mokinių (ar mokinių), kiekvieno dalyko ir jo pedagogikos specifiką. Kitaip tariant, mažai klausiame, o kaip turėtų vykti mokymosi procesas, ko iš tiesų turime išmokyti, kokia kiekvienos disciplinos mokymo prasmė. Apie matematikos mokymą mokykloje iš šios perspektyvos ir kalbamės su Rimu Norvaiša.

Kalbėdamas apie matematikos mokymą mokyklose jūs dažnai akcentuojate, kad svarbu mokyti suprasti matematikos sąvokas. Galbūt galėtumėte šiek tiek daugiau papasakoti, ką tai reiškia? Ir, žinoma, kodėl svarbu mokytis matematikos suvokiant matematines sąvokas? Kaip tai apskritai turėtų vykti klasėje? Galbūt skaitytojams galėtumėte pateikti ir kokį nors konkretų pavyzdį? Kokia matematinių sąvokų suvokimo prasmė? 

Sąvokų suvokimas matematikoje svarbus dėl paties dalyko – šiuo atveju matematikos – prigimties. Matematika nuo kitų disciplinų, pavyzdžiui, gamtos mokslų skiriasi tuo, kad matematikos objektai nėra suvokiami žmogaus jutimais: regėjimu, lytėjimu, kvapu. Gamtos moksluose galima apie problemas kalbėti iliustruojant jas konkrečiais daiktais ar reiškiniais, o štai matematikoje viskas vyksta tik vaizduotėje ir prote. Supaprastinu sakydamas, kad tai tik matematikos išskirtinumas, matyt, kitos disciplinos taip pat turi tokių savybių, tačiau tai yra matematikos esminis bruožas. Jeigu norime suprasti matematiką, tai kito kelio nėra: reikia tai daryti per mąstymą. Nei mikroskopas, nei teleskopas negali padėti paaiškinti matematikos sąvokos. 

Kitas dalykas – sąvoka matematikoje nėra žodžiu išreikštas apibendrintas daiktų ar reiškinių apibūdinimas. Netgi sąvokos apibūdinimas esminėmis savybėmis ne visada gelbsti. Pavyzdžiui, skaičiaus sąvoka. Šios sąvokos tiksliai apibrėžti mokykloje neįmanoma, nes ji nėra apibrėžiama kokiomis nors konkrečiomis savybėmis, o netiesiogiai aksiominiu būdu kaip tam tikros struktūros elementas. Matematikos sąvoka yra idėja, suteikianti prasmę lygybei, problemai ar formulei. Skirtingai nuo matematikos fakto, kurį reikia atsiminti, matematikos sąvoka paaiškina, kodėl kažkas matematikoje vyksta ar suprantama tam tikru būdu. 

Matematikos sąvoka turi dvilypę prigimtį. Esminės matematikos sąvokos vienu metu gali būti traktuojamos kaip procesas ir kaip objektas. Pavyzdžiui, funkcija matematikoje yra ir reikšmes argumentams priskirianti taisyklė – procesas, ir tam tikra sutvarkytų porų aibė – objektas. Šis dvilypumas panašus į fizikoje žinomą dvilypę mikrodalelių prigimtį – korpuskulinę ir banginę. Matematinę sąvoką suvokti kaip objektą mokiniams dažniausiai yra aukštasis pilotažas. Funkcijos atveju tai reiškia suvokimą, kad funkcijas galima sudėti kaip skaičius. 

Kaip mokykloje priartėti prie sąvokų turinio, jeigu negalime naudotis nei kitų dalykų mokslo priemonėmis, nei pačios matematikos negalime naudoti? Norėdami supažindinti su skaičiaus sąvoka, skaičiuojame obuolius, tačiau kaip toliau judėti į abstrakciją? Pradiniame ugdyme paplitusi nuomonė, kad tokio amžiaus vaikai abstrakčių dalykų nesupranta. Dėl šio įsitikinimo beveik nebandome spręsti sąvokos apibūdinimo problemos. Svarbus dalykas dar ir tai, kad pradinių klasių mokytojai yra rengiami kaip visų dalykų specialistai: specifinių matematikos žinių jie įgyja labai mažai.

Penktoje klasėje dalyko mokytojai susiduria su problema, kad abstrakcijos išvengti jau neįmanoma. Pavyzdžiui, aiškinant trupmenos sąvoką jau nepakanka „picos dalinimo“, jei norime, kad visos trupmenos savybės išplauktų iš jos apibrėžties. Pas mus nėra tradicijos rūpintis, kaip turėtume mokyti abstrakčių sąvokų, atsižvelgiant į vaiko amžių ir nepametant esminių matematikos bruožų. Natūrali išeitis šiuo atveju mokyklinę matematiką kurti kaip veikiantį žaislinį lėktuvo modelį. Tam reikia sugalvoti tokius sąvokų supaprastintus variantus, kurie atitiktų vaiko pažintinius gebėjimus ir turėtų tokias savybes, kurių pakaktų tradiciniams mokyklinės matematikos faktams pagrįsti.  

Toks planas sklando ore gal šimtą metų. Jo autorius vokiečių matematikas Felixas Kleinas. Tačiau įgyvendinti šį planą subrendome tik pastaraisiais dešimtmečiais. Atvirai kalbant, esame priversti įgyvendinti šį planą dėl pasikeitusios technologijų  svarbos  ir paplitimo mūsų kasdieniame gyvenime. 

Kai skaičiavimo priemonės gali suskaičiuoti bet ką, kai jos yra visiškai prieinamos visiems, tai tas ankstesnis matematikos mokymo turinys praranda prasmę. Tas turinys vis dar pas mus egzistuoja. Vis dar koncentruojamės į tam tikrų taisyklių, procedūrų išmokimą: atlikti veiksmus greitai, elegantiškai ir tiksliai. Dalis žmonių mano, kad skaičiavimo technologijos galėtų ir turėtų pakeisti matematiką, nes tariamai nebėra prasmės jos mokyti. Kiti matematikos didaktai galvoja, kad technologijos yra puiki pagalbinė priemonė mokytis matematikos, iš esmės nesprendžiant turinio klausimų, pavyzdžiui, sąvokos prasmės atskleidimo. Būtent dėl technologijų turime galvoti, kaip pakeisti matematikos mokymą taip, kad atskleistume matematiko mąstymą. Visos šios technologijos remiasi matematika, jose ji yra nematoma. Jeigu norime kurti tas technologijas, mums reikia žinoti jų pagrindus. Tai reiškia reikia mokytis matematinio mąstymo. Maža to. Mokykloje turėtume siekti atskleisti kiekvieno dalyko specifinį mąstymo būdą. Tai yra kritinio mąstymo, kaip jį supranta neurodidaktai, esmė.

Kalbėdamas apie sąvokas mokykloje dažnai pateikiate pavyzdį su trupmenomis. Antai mokykloje yra įprasta apibrėžti trupmenas kaip „vieneto dalį“ arba kaip „du skaičius, rašomus vienas virš kito ir atskiriamus brūkšneliu“. Galbūt galėtumėte papasakoti, kokios tokio trupmenos sąvokos supratimo pasekmės? Koks turėtų būti teisingas trupmenos apibrėžimas ir, jeigu jis būtų vartojamas, tai kaip keistųsi matematikos suvokimas? Kodėl negerai taip, kaip apibrėžta suvokti vieną ar kitą sąvoką? Ką tai „padaro“ mokinio mąstymui? 

Kodėl nepakanka suvokti trupmenų tik kaip skaitiklį ar vardiklį? Todėl, kad trupmena yra vienas skaičius, o skaitiklis ir vardiklis sukuria iliuziją, kad tai tik specialiu būdu užrašyti du skaičiai.  Tačiau esmė ta, kad vaikui reikia paaiškinti, kaip atliekami aritmetiniai veiksmai su trupmenomis. Kodėl tie veiksmai yra tokie, kokie yra. Matematikoje dažnai svarbus ne pats objektas, o jo vaidmuo sąryšyje su kitais panašiais objektais. Kalbant apie trupmenas svarbu paaiškinti, kodėl sudėdami jas prieš tai bendravardikliname, jeigu vardikliai skirtingi? Trupmenos sandaugos atveju nieko tokio nedarome. Natūralus vaiko klausimas galėtų būti: o kodėl taip darome? Kodėl dauginame kitaip, nei sudedame? Jei pradedame ir baigiame trupmenos aiškinimą paviršutinišku jos apibūdinimu, neturime priemonių paaiškinti, kodėl veiksmai taip yra atliekami. Daug kas to ir nebando. Vadovėlyje trupmenų sumos apibrėžimas ir yra tiesiog taisyklė, kurią reikia išmokti mintinai. 

Dar vienas dalykas – aritmetikos veiksmus reikėtų išreikšti tokia forma, kuri būtų nepriklausoma nuo skaičių rūšies. Skaičių sumos apibrėžtis neturėtų priklausyti nuo to, ar sudedame natūraliuosius skaičius, trupmenas, neigiamus skaičius, ar realiuosius skaičius. Akademinėje matematikoje tam tikslui naudojamos abstrakčios struktūros. Tačiau mokykloje to negalime daryti. 

Visiems šiems norams įgyvendinti amerikiečių matematikas Hung-Hsi Wu pasiūlė abstrakčią struktūrą pakeisti skaičių tiese ir parodė, kad tas jo pasiūlymas puikiai veikia. Tokiu atveju skaičius tapatinamas su geometrinės tiesės tašku. Tai dera su matematikoje žinoma Dedekindo-Kantoro aksioma apie abipus vienareikšmę atitiktį tarp realiųjų skaičių aibės ir geometrinės tiesės. Jeigu reikia identifikuoti skaičių, tai jį randame ant tos tiesės: šalia kokių skaičių jis yra? Skaičių tiesės naudojimas aritmetikai konstruoti  yra kompromisas: elgiamės ne abstrakčiai, bet jau turime vaikui suvokiamą vizualią priemonę ir ja galime pademonstruoti, kur ir kaip vyksta veiksmas. 

Skaičių tiesėje skaičių sumą galime apibrėžti taip: imame bet kokius du skaičius ant jos, žiūrime į tuos skaičius kaip į atkarpas. Atkarpų kairysis galas yra nulis, o dešinysis — skaičius. Jei yra du skaičiai, tai bus dvi atkarpos. Kaip apibrėžti šių dviejų skaičių sumą? Imame vieną atkarpą, ją stumiame tol, kol jos kairysis galas (nulis) sutaps su antrojo skaičiaus dešiniuoju galu. Sujungiame, gauname didesnę atkarpą. Tos naujai gautos atkarpos dešinysis galas bus koks nors taškas. Pagal apibrėžimą jį vadiname tų dviejų skaičių suma. Mums visiškai nesvarbu, ar tie taškai buvo natūralieji, ar trupmenos. Turime universalų apibrėžimą. Kai turime tokį apibrėžimą, galime įrodyti, kad iš jo išplaukia ta standartinė nuobodi taisyklė — trupmenas sudedame po bendravardiklinimo. Tiesa, įrodymui paaiškinti jau reikėtų lentos. 

Toks sumos apibrėžimas yra intuityviai aiškus, tačiau neturime tradicijos taip aiškinti. Toks aiškinimas nėra lengvas jį atlikti pirmą kartą, tam reikia mokytojo patirties. Deja, mokytojai visame pasaulyje laikosi tų mokymo tradicijų, kurias patyrė savo mokyklose. Jeigu rengdami mokytojus universitete nepakeičiame šių tradicijų, tai jie ir toliau moko „po senovei“ .

Tiesa, trupmenos suprantamos santykinai vėlyvame amžiuje. Gerai būtų, kad vaikas būtų pratinamas prie abstrakcijų palaipsniui nuo pirmosios klasės. Tuo labiau kad tam yra puikių priemonių. Nereikia išradinėti dviračio. Tiesiog pakanka atsisakyti išankstinių nuostatų. Pradėti galima jau pirmojoje klasėje mokant vaiką atlikti sudėties veiksmus tada, kai jis mokosi nuosekliai skaičiuoti: vienas, du, trys, keturi. 

Nuoseklus skaičiavimas yra pats paprasčiausias lygmuo, pakankamas mažiems skaičiams, tačiau ką daryti, jeigu aritmetinės operacijos atliekamos su gerokai didesniais skaičiais? Juk neskaičiuosi paeiliui bandydamas sudėti ar dauginti dviženklius skaičius nuosekliai skaičiuodamas. Veiksmams su dideliais skaičiais naudojame vadinamąsias standartines procedūras: sudėtis stulpeliu, atimtis stulpeliu, daugyba stulpeliu ir dalyba stulpeliu.  Svarbu paaiškinti, kodėl naudojamos tokios procedūros. Paaiškinimo pagrindas yra dešimtainė skaičiavimo sistema, kuri grindžiama skaitmens pozicine reikšme skaičiuje. Kas tai? Pavyzdžiui, skaitmuo trys. Skaičiuje 63 skaitmuo 3 reiškia tris vienetus, o skaičiuje 35 skaitmuo 3 reiškia tris dešimtis. Deja, kaip pozicinė skaitmens reikšmė skaičiuje padeda pagrįsti standartines procedūras, lietuviškoje mokykloje pamirštame. Rimtas mokinio ruošimas abstrakčiai mąstyti turėtų prasidėti supažindinant su dešimtainės sistemos esminiais bruožais. Tuo labiau kad dešimties skaitmenų panaudojimas reikšti visus galimus skaičius yra didžiausias Vakarų civilizacijos pasiekimas per pastaruosius keturis šimtus metų.

Kaip suprantu, įsivaizduotumėte pradinių klasių mokymą kaip šiek tiek pakylantį į abstraktesnį lygmenį. O kodėl yra svarbu abstrakčiai mąstyti matematikoje? 

Pati matematikos prigimtis yra tokia. Jos visa galia – abstrakcija, nes ką nors tiksliai pasakyti galima tik apie idealius objektus, kurie yra abstraktaus lygmens. 

Ar galima būtų sakyti, kad mokyklinės matematikos prasmė yra išmokyti vaikus mąstyti tiksliai? 

Pridurčiau, mokyti mąstyti logiškai tiksliai. Galima būtų taip pasakyti. Dar tiksliau formuluojant: logiškai tiksliai vartoti sąvokas. Mokymosi mokykloje tikslas turėtų būti vaiko supažindinimas su tuo naudojimosi apibrėžimu įgūdžiu. Jeigu bandome ką nors pagrįsti, tai galvojame apie tą daiktą, koks yra jo apibrėžimas. Kartais atsiranda poreikis apibrėžimus palyginti. Galbūt tuos apibrėžimus atsimeni gerai, gali juos pakartoti, bet vis tiek nesupranti. Skirtumas tarp atsiminimo ir supratimo sunkiai paaiškinamas, nes labai komplikuotas. Gali būti, kad vaikai išmoksta, gali tiksliai pasakyti apibrėžimą, bet jie nejaučia jo ir negalėtų pasinaudoti apibrėžimu aiškindami santykius tarp dviejų objektų. 

Jau pradiniame ugdyme galima pradėti kreipti dėmesį į tai, ką pavadinsiu „matematiniu samprotavimu“. Atkreipsiu dėmesį, kad iki šio momento apie šį dalyką dar nekalbėjau, bet jis yra svarbiausias mokyklinės matematikos tikslas: kaip vaikui padėti bent šiek tiek suprasti, ką reiškia mąstyti matematiškai? 

Matematiniu samprotavimu vadinu dėsningumų atradimą ir jų pagrindimą arba įrodymą. Suprasti kokius nors naujus dalykus, spėti, kelti hipotezę, kad galbūt ta savybė yra būdinga, ir po to įrodyti, jog iš tikrųjų ji yra tokia, kokia yra, t. y. teisinga visais galimais atvejais. Matematikoje tokių galimų atvejų dažniausiai yra be galo daug.  Pats pagrindimas yra charakteringas matematikos bruožas. Jis vaidina eksperimento vaidmenį gamtos moksluose.

Matematinį samprotavimą bandysiu paaiškinti pavyzdžiais. Tarp natūraliųjų skaičių yra lyginiai ir nelyginiai. Lyginiai — dalijasi iš dviejų, o nelyginiai — nesidalija. Tarp tokių skaičių galime pasiūlyti vaikui sudėti du skaičius, pavyzdžiui, 3 ir 5. Imu du nelyginius skaičius ir prašau juos sudėti. Dėsningumo aptikimas būtų, kai vaikas po kelių pavyzdžių galbūt pamatys, kad, sudėjus tokius skaičius, nors jie nelyginiai, išeina lyginis. Vaikas gali iškelti hipotezę, kad nelyginių skaičių suma visada bus lyginis skaičius. Klausimas: ar ši savybė teisinga visada? Vaikas galėtų argumentuoti: nežinau jokio kito pavyzdžio, kuris parodytų priešingai. 

Būtent čia atsiranda matematikos specifikos momentas: jeigu turime be galo daug pavyzdžių, iš principo negalime išrinkti visų galimų atvejų ir įsitikinti, ar keliama hipotezė yra teisinga. Matematikoje dažniausiai susiduriame su begaliniais objektų rinkiniais. Reikia priemonių, kokiu būdu pagrįsti, kad savybė yra teisinga be galo dideliam skaičiui objektų. 

Ir čia į pirmą vietą iškyla lyginio ir nelyginio skaičiaus sąvokos apibrėžimas. Galima būtų paskatinti vaiką apibrėžti. Apibrėžimas gali būti įvairaus abstrakcijos lygio: pavyzdžiui, lyginio skaičiaus apibrėžimas (dalijasi iš dviejų) nelabai tinka pradiniame ugdyme. Paprasčiau vaikams paaiškinti, kad skaičius lyginis, jei nuosekliame skaičiavime, skaičiuodami iki jo ir poruodami visus iki jo skaičius, nelieka skaičiaus be poros. Jeigu vienas lieka laisvas, nesusiporuoja, tai tokį skaičių vadinsime nelyginiu. Dar geriau šią situaciją pavaizduoti piešiniu, kuriame matytųsi tas suporavimas (lyginio skaičiaus atveju) arba skaičius, kuris lieka „be poros“ (nelyginio). 

Aiškinant sudėties veiksmus kiekvienas iš sudedamų nelyginių skaičių turės charakteringą piešinį. Galima pastebėti, kad sudėtis yra dviejų piešinių sujungimas: tuos du paveikslėlius reikia sujungti taip, kad gautoje figūroje visi skaičiai susiporuoja, t. y. sujungę du nelyginius skaičius gauname lyginį skaičių. Štai ir įrodymas. 

Šie piešinukai vaizduoja charakteringumą, lyginio ir nelyginio skaičiaus formą. Visiškai nesvarbu, kokius skaičius paėmiau, forma visuomet bus ta pati. Sujungimo procedūroje vaikas turėtų pajusti, kad samprotavimas nepriklauso nuo to, kokius nelyginius konkrečius skaičius sudedame, visuomet gauname tokį stačiakampį, kuriame nėra laisvų narių. Štai ir būtų pavyzdys to,  kaip pagrįsti ir įrodyti savybę teisingą be galo dideliam skaičiui objektų. 

Šios paprastos priemonės jau palaipsniui pratina prie gebėjimo logiškai taisyklingai samprotauti. Reikia suprasti, kad matematikoje, jeigu turime daug pavyzdžių, tai bet koks baigtinis skaičius nepagrindžia teiginio. Šį dalyką vaikui reikėtų gebėti paaiškinti kaip galima anksčiau. 

Studentai, jau atėję į universitetus, nejaučia šito, o tuomet kaip dėstytojas turiu dėl to problemų. Jeigu prašai ką nors įrodyti, tai jie porą pavyzdžių patikrina ir jiems aišku, kad teisinga visiems. Netgi bandant paaiškinti, kad tai neįrodo, jie nepakeičia tokio savo požiūrio. Samprotavimas pavyzdžiais yra įaugęs į smegenis, bet jis matematikoje klaidingas. Mąstymas pavyzdžiais yra naudingas tada, kai nori įrodyti, kad koks nors teiginys nėra teisingas. Pavyzdys kaip kontrpavyzdys yra pakankamas, tačiau tokie atvejai yra specialūs. 

Kiek skaitau jūsų tekstus, jūs dažnai lyginate įvairias skirtingas matematikos mokymo praktikas. Esate parašęs tekstą apie Vokietijos ir Anglijos matematikos mokymo specifiką. Kaip suprantu, jums kaip prieštara matematiniam mąstymui ar jos prigimčiai pasirodo tai, kai mokymosi procese susitelkiama į realaus gyvenimo pavyzdžius? 

Taip, tačiau noriu šį savo teiginį paaiškinti. Jeigu matematikos negalėtume panaudoti realiame pasaulyje, tai tada ji būtų šachmatų žaidimas, atliekamas savo malonumui. Bet taip nėra.

Tad kodėl taip neigiamai vertinu taikymus matematikos mokyme? Iliustruoti matematikos naudingumą yra geras dalykas, bet problema kyla tada, kai užsižaidžiama, per daug sureikšminamas matematikos pritaikomumas kasdieniame gyvenime. Kai kurie didaktai mano, kad pradiniame ugdyme nieko kito nebelieka, kaip tik parodyti vaikui, kaip kasdieniame gyvenime pritaikoma matematika. Tokie taikymo pavyzdžiai gali būti tik itin elementarūs, nes vaikas iki tol dar iš esmės nesuvokia, kas yra matematika. Be to, prarandamas laikas ir galimybė prie abstraktaus mąstymo priprasti palaipsniui. 

Mane tikrai nustebino jau minėtame tekste aprašytas matematikos mokymosi būdas Vokietijos gimnazijoje. Rašote, kad Vokietijoje gana didelė dalis darbo klasėje yra ne individuali, o atliekama kartu, diskutuojant. Tiesą sakant, individualus darbas, iš mano mokyklinės patirties, buvo dominuojantis. Kokia diskusijų kartu ir su mokytoju ir kitais mokiniais prasmė apskritai? Ką tai keičia mokymosi procese? Kodėl jums nepriimtinas yra į individualumą orientuotas matematikos mokymo(si) procesas?

Darbo grupėje prasmė gali būti įvairi. Pavyzdžiui, galbūt vaikai, dirbdami grupėje tik su savo bendraklasiais, ne taip bijo išreikšti save kaip prieš mokytoją. Mokytojo autoritetas gali jiems trukdyti: jie gali bijoti sakyti nežinantys ar žinantys. 

Be to, kad darbas grupėse yra tik vienas iš mokymo(si) etapų, bet labai svarbu, kai dirbama kartu, kad mokytojas dalyvautų ir matytų visas mokinių grupes iš karto, galėtų kompetentingai įsiterpti į kiekvienos grupės darbą. 

Žinoma, tam reikia milžiniško mokytojo matematinio išsilavinimo, gebėjimo suvokti iš kelių frazių, kokioje situacijoje grupelė vaikų yra, ir kompetentingai įsiterpti arba ne.

Ar tai, kad vaikai tarpusavyje diskutuoja, daro įtaką tam, kaip jie mąsto apie matematiką? Arba, kad jiems yra leidžiama mąstyti kartu, kelti hipotezes, o ne tik kartoti mechaniškus veiksmus?

Priklauso nuo vaiko. Kai kurie vaikai, ypač labai gabūs, gali individualiai dirbti, jie viską išsiaiškins patys, bet, jeigu norime, kad ir vidutinis vaikas suvoktų matematinį samprotavimą, tai bendros diskusijos kelias yra efektyvesnis, negu kad vidutinis vaikas dirbtų vienas. Vienam jam gali nekilti minčių, kaip pralaužti ledus, jeigu jis stringa, gali atsirasti nevilties ar baimės matematikai jausmas. Jeigu vidutinis vaikas turi galimybę kalbėtis ir su gudresniais vaikais, jis gali mėgdžioti, įveikti sunkumus. Galbūt gabiems vaikams tam tikros naudos irgi duoda pasitikėjimas savimi, pastanga paaiškinti kitiems padeda jiems patiems geriau suprasti dalyką. 

Žvelgiant į ugdymo filosofiją, kuri yra dominuojanti tiek Lietuvoje, tiek pasaulyje, kitas aspektas pasirodo labai svarbus ypač matematikos atžvilgiu: žaidimo ir darbo mokymosi procese prieštara. Dabar labiau įprasta galvoti apie mokymąsi kaip apie žaidimą, kurio metu gali su vaikais jiems patogiais ir priimtinais būdais vaikystėje kažko išmokti. Manau, kad matematika kaip gana sudėtinga mokymosi disciplina turėtų nukentėti nuo šios prielaidos. Juk ji reikalauja daugiau pastangų ar „priverstinio“ darbo. 

Nežinau vienareikšmės tiesos, bet esu linkęs pritarti tokiai nuomonei. Matematikos sunkumas yra tas, kad ne viskas žaidimu kvepia. Žaidimu galėtų kvepėti vėliau, kai pereini tam tikrą etapą, tačiau pradinį žinių bagažą įgyti reikia pastangų. Neurodidaktai juk tvirtina, kad mąstyti žmogui yra sunku, jeigu jis gali nemąstyti, jis tą ir darys, t. y. nemąstys. Dar vykstant evoliucijai smegenys taip susiformavo, kad jiems malonumo mąstymas nesuteikia. Matematika sunki, nes mąstyti sunku, reikia prisiversti, bet man atrodo, kad tai yra tik pradinis etapas. Daugelis veiklų — šachmatai, važiavimas dviračiu — iš pradžių reikalauja pastangų, bet po to, kai jau turi tam tikrą būtiną įgūdžių rinkinį, tai darbas virsta galbūt ne visada žaidimu, bet jis bent jau nekelia sunkumų. 

Teikia malonumą? 

Remdamasis asmenine patirtimi galiu sakyti, kad daugelį dalykų matematikoje dariau, nes tai teikė malonumą. Kalbant visiškai rimtai, matematiko darbas yra gilinimasis į kažką, ko kasdienybėje negali sutikti. Nenoriu vartoti Dievo žodžio, bet būna labai retų atvejų, kai ką nors atrandi ir gali pasakyti, kad tikrai to neieškojai, bet sąmonėje kažkas iškilo. Nežinojai, kad ten tai bus; net nežinojai, ko ieškai konkrečiai, bet tas daiktas atsirado. Tada galvoji, o kaip jis galėjo atsirasti, iš kur jis? Kas jį man „nuleido“? Ar egzistuoja koks nors idėjų pasaulis, nepriklausomai nuo žmogaus? Šiuos klausimus, išėjimą į kažkokių kitokių pojūčių lygmenį vertinčiau labiau nei žaidimo pojūtį. Prisilietimas prie kažko, kas yra amžina. Tokie jausmai skatina mokslininkus, matematikus šia veikla užsiimti. 

Norėčiau pavadinti šį dalyką nuostabos jausmu. Kartkartėmis toks jausmas, nesusijęs su matematikos problemų sprendimu, aplanko ir mane. Galvočiau, ar kiekvienas vaikas tai pajusti? 

Manau, kad gali. Manyčiau, kad mokykloje turėtų būti nuolatinė siekiamybė bent kartą vaikui sudaryti sąlygas patirti atradimo, kūrybos, nuostabos jausmą. Tokį jausmą, kai pajauti atsiradus kažką, ko tu neįsivaizdavai prieš tai.