Suprasti, ko nesupranti, arba Kodėl bėgikas niekada nepavys vėžlio

Šis Andriaus Romaškos tekstas laimėjo antrą vietą „Bernardinai.lt“ tekstų konkurse 2022 dalyvių su magistro laipsniu grupėje.

D. Hilbertas teigdavo, kad jam visiškai neįdomu girdėti studentus atsakinėjant į klausimus, kuriuos jie kuo puikiausiai išmano. Matematikui tebūdavo įdomu žinoti, ką studentai mąsto apie klausimus, apie kuriuos jie beveik nieko neišmano. Kokia logika slypi už šios metodikos ir kodėl apskritai svarbu nagrinėti sau tolimus bei nesuprantamus procesus bei apie juos mąstyti?

Achilo ir vėžlio paradoksas

Kažin ar kas galėtų padėti aiškiau racionalizuoti šią metodiką nei kitas žymus matematikos kontekstas – Bėgiko ir Vėžlio paradoksas. Jis gali būti girdėtas ir kitais pavadinimais, kaip antai Achilo ir Vėžlio, Bėgiko ir Sraigės, tačiau jie visi kalba apie tą patį matematinį fenomeną. Bet kuriam bėgikui niekuomet nepavyks pavyti vėžlio, jei vėžlys pradės distanciją bent keliais metrais priekyje bėgiko. Juk kol bėgikas įveiks tą kelių metrų skirtumą tarp vėžlio ir savęs, vėžlys pasislinks į priekį bent keliais centimetrais. Tuomet, kol bėgikas įveiks tuos kelis centimetrus, vėžlys vėl bent keliais milimetrais pasislinks į priekį. Kol bėgikas įveiks tuos kelis milimetrus, vėžlys vėl bent per mikroskopinį atstumą pasislinks į priekį. Ir taip gaudys bėgikas vėžlį, bet jam niekuomet nepavyks to padaryti, nes, kol jis pasieks tą vietą, iš kurios pajudėjo vėžlys, pastarasis jau bus pasislinkęs į priekį bent per itin minimalų atstumą.

Mąstant sveiku protu, nekyla abejonių, jog bėgikas galiausiai pralenks vėžlį – tai akivaizdžiai galima pamatyti, nusibraižius abiejų varžovų nukeliautus atstumus laiko skalėje. Bėda yra ta, kad taip būtų įrodyta tik ta paradokso dalis, dėl kurios abejonių nekyla – paradokso klaidingumas. Visgi sunku būtų paneigti, kad net ir po minėto grafinio paaiškinimo, skaitant paradoksą iš naujo, jis vis tiek skamba intuityviai įtikinamai. Tad paradokso intuityvaus įtikinamumo kilmė lieka neaiški.

Paradokso įtikinamumo priežastis

Pribloškiamai taikliai šio paradokso kilmę paaiškino Bertrandas Russellas. Britų filosofas, matematikas ir logikas, teigia, jog Bėgiko ir Vėžlio paslaptis slypi aibių teorijoje. Čia reikėtų įvesti į trumpą aibių teorijos apibrėžimą – šioje matematikos atšakoje dvi skirtingos aibės yra laikomos to paties dydžio, jei tų dviejų aibių narius galima suporuoti tarpusavyje taip, kad tiek kiekvienas pirmosios aibės elementas turėtų sau elementą į porą iš antrosios aibės elementų, tiek kiekvienas antrosios aibės elementas turėtų sau elementą į porą iš pirmosios aibės. Pavyzdžiui, įsivaizduokime šokių pamoką, kurioje vienoje eilutėje yra išsirikiavusios merginos, o kitoje – vaikinai. Jei kiekvienai merginai galima priskirti po lygiai vieną vaikiną į porą, o kiekvienam vaikinui – po lygiai vieną merginą, ir jei nelieka nei laisvų vaikinų, nei merginų, žinoma, jog tarsime, kad abi aibės – tiek merginų, tiek vaikinų yra lygios. Toks poravimas matematikoje žinomas bijekcijos vardu.

Gali kilti klausimas kodėl šioje vietoje buvo išsiplėsta ties tokia paprasta aibių teorijos sąvoka, kuri, regis, ir taip yra intuityviai aiški? Nagrinėjant lengvai suskaičiuojamas aibes – štai kad ir kokių penkių merginų bei penkių vaikinų aibes minėtame pavyzdyje, mūsų intuicijai yra aišku, kad tokios dvi aibės yra to paties dydžio. Visgi pats įdomumas prasideda, kai pradedama nagrinėti jau ne taip lengvai suskaičiuojamų dydžių aibes.

Tarkime turime visų natūraliųjų skaičių (1, 2, 3, 4 etc.) aibę ir visų lyginių natūraliųjų skaičių (2, 4, 6, 8 etc.) aibę. Kuri iš šių aibių intuityviai atrodo esanti didesnė? Absoliučiai daugumai žmonių natūraliųjų skaičių aibė intuityviai regisi esanti didesnė. Visgi ramiai pritaikius jau minėtą dviejų aibių lygumo apibrėžimą, darosi aišku, jog šios dvi aibės yra laikomos lygiomis, nes kiekvienam natūraliajam skaičiui galima rasti lyginį natūralųjį skaičių į porą ir atvirkščiai – kiekvienam lyginiam natūraliajam galima rasti natūralųjį skaičių į porą. Pavyzdžiui: 1 ir 2, 2 ir 4, 3 ir 6, … , n-asis skaičius ir 2n-asis skaičius etc.

Panašiai sunkiai mūsų intuicijai sekasi orientuotis ir realiųjų skaičių kontekste. Tarkime turime du intervalus (dvi realiųjų skaičių aibes) – vienas yra nuo 0 iki 2: [0;2], o kitas yra nuo 1 iki 2: [1;2]. Kaip ir natūraliųjų skaičių pavyzdžio atveju, taip ir čia – intuicija sako, jog tarp 0 ir 2 turėtų būti daugiau realiųjų skaičių, nei tarp 1 ir 2. Visgi, kaip ir prieš tai buvusiu atveju – šie abu intervalai apima tiek pat realiųjų skaičių, nes tarp jų abiejų realiųjų skaičių galima atlikti jau minėtąjį poravimą  bijekciją.

Tad galiausiai – kuo visa ši aibių teorija siejasi su Bėgiku ir Vėžliu? Tarkime, kad bėgikas yra du kartus greitesnis už vėžlį – bėgiko greitis yra 2 metrai per sekundę, o vėžlio greitis yra 1 metras per sekundę (galima būtų sugalvoti realesnius greičius, bet taip bus paprasčiau). Taip pat tarkime, kad vėžlys turi vieno metro pranašumą prieš bėgiką. Darosi aišku, jog bėgikas po sekundės bus nubėgęs 2 metrus, o vėžlys bus nuropojęs vieną metrą, tačiau turint omeny vėžlio turėtą vieno metro pradinį pranašumą – po sekundės abu atsidurs ties dviejų metrų žyma.

Šiame pavyzdyje Bėgiko ir Vėžlio paradoksas būtent ir būtų bandymas poruoti [0;2] periodo realiuosius skaičius su [1;2] periodo realiaisiais skaičiais. Kitaip tariant, tai būtų bandymas absoliučiai bet kurią tos sekundės akimirką lyginti bėgiko nubėgtą atstumą su tą pačią sekundės akimirką vėžlio nupėdintu atstumu (įskaitant jo pradinį 1 metro pranašumą). Ir žinoma – begalę tokių akimirkų toks lyginimas lemtų, kad realusis skaičius iš [0;2] periodo būtų bent minimaliai mažesnis už realųjį skaičių iš [1;2] periodo. Visgi galiausiai toks lyginimas pasibaigtų pora 2 ir 2, kitaip tariant – tą akimirką lygiai po sekundės abiejų lenktynininkų nubėgtas atstumas taptų lygus.

Taigi mūsų smegenys pasąmonės lygmeniu supranta, jog Bėgiko ir Vėžlio paradokso esmė ir yra toks begalės realiųjų skaičių, tūnančių dviejų skirtingo ilgio intervaluose, lyginimas. Visgi, mūsų smegenys ir intuicija prieštarauja, kad dviejų skirtingų ilgių realiųjų skaičių intervalai apima tiek pat realiųjų skaičių. Todėl mūsų intuicija bando atmesti faktą, kad po begalybės momentų vis tiek ateis toji akimirka, kai pirmojo intervalo paskutinis realusis skaičius taps lygus antrojo intervalo paskutiniajam realiajam skaičiui ir, atitinkamai, bėgikas pavys vėžlį.

Suprasti savo artimą

Kuo kiekvienam iš mūsų prasmingas šis Bėgiko ir Vėžlio paradokso paaiškinimas? Kaip jau minėta, šis paradoksas susideda iš dviejų dalių: jo akivaizdaus klaidingumo bei sunkiai suvokiamo intuityvaus įtikinamumo. Nusibraižius abiejų varžovų nubėgtų atstumų laike grafiką, galima nesunkiai įrodyti ir taip akivaizdų paradokso klaidingumą. Visgi būtent tos paradokso dalies nagrinėjimas, kurią sunku suprasti, atveda prie tokių neįtikėtinai įdomių matematinių konceptų kaip begalybė, begalinės aibės, begalinių aibių palyginimas, žmogaus intuicija ir jos klaidingumas tam tikruose matematikos dėsniuose etc. Tad, grįžtant prie Hilberto metodikos, naudotos egzaminuojant savo studentus – jis kuo puikiausiai suvokė, kad patys įdomiausi ir gražiausi dalykai matematikoje turbūt nebus taip lengvai prieinami studentams besiruošiant egzaminui. Būtent todėl D. Hilbertui studentų nuomonė apie kertinius matematikos dalykus būdavo daug įdomesnė nei konkrečios žinios apie visiems kuo puikiausiai suprantamus dalykus.

Šią Hilberto metodiką galima panaudoti ne tik pedagogikoje, ne tik per darbo pokalbius, tačiau ir kasdieniame socialiniame gyvenime – motyvuojant gilintis į kiekvieną iš mus supančių aplinkinių žmonių, į jų skirtingas nuomones bei vertybes. Žinoma, kad rasti motyvacijos suvokti savųjų pažiūrų, savųjų vertybių racionalumą bei formavimosi priežastis yra kur kas lengviau, nei atrasti jėgų gilintis į mus supančius žmones, jų skirtingas vertybes ir tų vertybių pagrįstumą. Tarsi suvokdamos šią sudėtingą užduotį, dauguma didžiųjų religijų aplinkinius žmones skatina suprasti per altruizmo prizmę. Tačiau kiek altruizmo etinė doktrina išties yra efektyvi šių dienų kapitalistinėje visuomenėje šiam tikslui pasiekti?

Ne veltui matematika yra viena kertinių šios publikacijos ašių. Daugumos altruizmo apibrėžimų kertine ašimi būtent ir yra matematinė komponentė. Štai kokie sociobiologistai bet kurį žmogaus poelgį, veiksmą vadina altruistiniu, jei taip besielgiantis žmogus gauna mažiau naudos nei to veiksmo gavėjas. Labai panašiai teigia ir sociologas Hovardas Margolis – poelgis yra altruistinis, jei to poelgio iniciatorius toje konkrečioje situacijoje galėjo gauti sau daugiau naudos, tačiau pasirinko atsisakyti tos potencialios naudos vardan kito žmogaus. Nemaža dalis socialinę etiką ekonominiuose procesuose nagrinėjančių mokslininkų teigia, kad šių dienų kapitalistinėje visuomenėje tokie altruizmo apibrėžimai yra retai veiksnūs kaip motyvacinė priemonė skirti savo laiko bei energijos aplinkiniams žmonėms. Prancūzų ekonomistas Serge Christophe-Kolmas teigia, kad šių dienų visuomenėje žmogaus altruistiniai sentimentai yra gajesni už egoistinius sentimentus tik tais labai siauros jį supančios grupės atžvilgiu – šeimos ar giminės. Labai panašiai visuomenės egzistavimo principus aiškina ir vienas žymiausių pasaulio ekonomistų – Adamas Smithas. Pasak jo, žmonijos polinkis užsiimti tolygiais mainais, o ne altruizmu paremta ekonomika, yra žmogaus prigimtinio egoizmo pasekmė.

Būtent todėl Hilberto metodo taikymas, motyvuojant žmones domėtis aplinkiniais bei jų pažiūromis, leistų pasiekti gana priešingą rezultatą. Šis metodas kuo aiškiausiai teigia, kad, pasirinkęs nagrinėti tai, ko nesupranti, gausi gerokai didesnę tiesioginę naudą visų pirma sau – gerokai platesnį, įdomesnį ir gilesnį šio pasaulio vaizdą, nei nagrinėdamas tik savo pažiūras. Galbūt ir nereikėtų stipriai mistifikuoti ar absoliutinti šio metodo. Visgi pastebėjus, kad kuriame nors kontekste konkretus žmogus nėra atviras kitai nuomonei, nenori įsiklausyti į kitą žmogų, galima būtų paprovokuoti: „O tu žinai, kodėl bėgikas niekuomet nepavys vėžlio?“ bei taip paprastai įsukti į šio teksto pagrindinį Bėgiko ir Vėžlio argumentą. Šis matematinio paradokso grožis, atkleidžiantis Hilberto metodo esmę, galėtų tapti kur kas veiksmingesne priemone motyvuojant gilintis į aplinkinius žmones, nei tiesmukas bandymas patronuoti altruistine pozicija.